二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范-九年级数学

题文

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),可得x1=1,x2=3;
(2)依题意因为ax2+bx+c>0,得出x的取值范围为1<x<3;
(3)如图可知,当y随x的增大而减小,自变量x的取值范围为x>2
(4)由顶点(2,2)设方程为a(x﹣2)2+2=0,
∵二次函数与x轴的2个交点为(1,0)),(3,0),
∴a=﹣2,
∴抛物线方程为y=﹣2(x﹣2)2+2,
y=﹣2(x﹣2)2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位,
由图形知,当k<2时,曲线与x轴有两个交点.故k<2

据专家权威分析,试题“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程,二次函数的图像,二次函数与不等式(组)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数与一元二次方程二次函数的图像二次函数与不等式(组)

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。

考点名称:二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征:
    ①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
    ②有对称轴;
    ③有顶点;
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

  • 二次函数图像性质:
    轴对称:

    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
    a,b同号,对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号,对称轴在y轴右侧

    顶点:
    二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
    当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

    开口:
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
    |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素:
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
    事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:

    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于(0,C)
    注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

    与x轴交点个数:
    a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
    k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
    a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
    当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
    当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k
    当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数。

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