题文

函数y=x2-ax+ 1 4 (a-1)，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

设函数y=x2-ax+ 1 4 （a-1）与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则 x1、x2是一元二次方程x2-ax+ 1 4 （a-1）=0的两个实数根， 由韦达定理得，x1+x2=a，x1?x2= 1 4 （a-1）， 则（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1?x2=a2-a+1=（a- 1 2 ）2+ 3 4 ， ∵a为任意实数，∴（a- 1 2 ）2≥0， ∴（x1-x2）2≥ 3 4 ， ∴|x1-x2|≥ 3 2 ， ∴|x1-x2|的最小值是 3 2 ，即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为 3 2 ． 故答案是： 3 2 ．

据专家权威分析，试题“函数y=x2-ax+14(a-1)，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)