题文

已知：关于x的二次函数y=-x2+（m+2）x-m． （1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方； （2）设二次函数图象与y轴交于A，过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限，当m为何值时，△PAB是等边三角形．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：二次函数y=-x2+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m， ∴顶点P的纵坐标为 4ac-b2 4a = 4m-(m+2)2 4×(-1) = m2+4 4 ＞0， ∴顶点P总在x轴上方； （2）二次函数y=-x2+（m+2）x-m与y轴交于点A（0，-m）， 顶点P（ m+2 2 ， m2+4 4 ）， 过P作PC⊥AB于C，则C（ m+2 2 ，-m）， 因为点P在第一象限，所以 m+2 2 ＞0， AC= m+2 2 ，PC= m2+4 4 +m， ∵△PAB是等边三角形， ∴∠PAC=60°， 由tan∠PAC= PC AC 得 m2+4 4 +m= 3 （ m+2 2 ）， 整理得：（m+2）2=2 3 （m+2）， ∴m+2=2 3 ∴m=2 3 -2， 即m=2 3 -2时，△PAB是等边三角形．

据专家权威分析，试题“已知：关于x的二次函数y=-x2+（m+2）x-m．（1）求证：不论m为任何实数，..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程，等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程等边三角形

考点名称：二次函数与一元二次方程