题文

已知二次函数y=x2+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且△ABC的面积S≤1． （1）求q2-4p的取值范围； （2）若p，q分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数 . pq ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设A（x1，0），B（x2，0）（x1≠x2），则x1，x2是方程x2+qx+p=0的两个不同的实根． 有x1+x2=-q，x1x2=p，q2-4p＞0， ∵点C的纵坐标yC= 4p-q2 4 ∴S= 1 2 |x1-x2|?|yC|= 1 2 q2-4p ?| 4p-q2 4 |≤1， 即（q2-4p）3≤64， q2-4p≤4， ∴0＜q2-4p≤4； （2）由（1）知，q2-4p=1，2，3，4． ∵q2被4除余数为0或1， ∴q2-4p被4除余数也为0或1． 从而q2-4p=1，4．这两个方程中符合题意的整数解有 p=2 q=3 ， p=6 q=5 ， p=3 q=4 ， p=8 q=6 ．故所求两位数 . pq 为23，65，34，86．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x