题文

已知抛物线y=-x2+mx-m+2． （Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB= 5 ，试求m的值； （Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设点A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程-x2+mx-m+2=0的两根． ∵x1+x2=m，x1?x2=m-2＜0即m＜2， 又∵AB=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2 = 5 ， ∴m2-4m+3=0． 解得：m=1或m=3（舍去）， 故m的值为1． （2）设M（a，b），则N（-a，-b）． ∵M、N是抛物线上的两点， ∴ -a2+ma-m+2=b…① -a2-ma-m+2=-b…② ①+②得：-2a2-2m+4=0， ∴a2=-m+2， ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N， ∴a=± 2-m ． 这时M、N到y轴的距离均为 2-m ， 又∵点C坐标为（0，2-m），而S△MNC=27， ∴2× 1 2 ×（2-m）× 2-m =27， 解得m=-7．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=-x2+mx-m+2．（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x