题文

从某市中学参加初中毕业考试的学生成绩中抽取40名学生的数学成绩，分数如下：90，86，61，86，73，86，91，68，75，65，72，81，86，99，79，80，86，74，83，77，86，93，96，88，87，86，92，77，98，94，100，86，64，100，69，90，95，97，84，94.这个样本数据的频率分布表如小表：

（1） 在这个表中，数据在79.5-84.5的频率是多少？ （2） 估计该校初中毕业考试的数学成绩在85分以上的约占百分之几？ （3） 据频率分布表绘制频数分布直方图和折线图.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）0.1；（2）60%；（3）图“略”

据专家权威分析，试题“从某市中学参加初中毕业考试的学生成绩中抽取40名学生的数学成绩..”主要考查你对  频数与频率，直方图，折线图，统计表  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

频数与频率直方图折线图统计表

考点名称：频数与频率

• 频数：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
  频率：频数与数据总数的比值为频率。频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量。

• 频数：
  在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目。
  如有一组测量数据，数据的总个数N=148最小的测量值xmin=0.03，最大的测量值xmax=31.67，按组距为△x=3.000将148个数据分为11组，其中分布在15.05～18.05范围内的数据有26个，则称该数据组的频数为26。

  频率：
  如在314159265358979324中，‘9’出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7%
  频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
  在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。
  频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。

考点名称：直方图

• 频数分布直方图的定义：
  在统计数据时，按照频数分布表，在平面直角坐标系中，横轴标出每个组的端点，纵轴表示频数，每个矩形的高代表对应的频数，称这样的统计图为频数分布直方图。
  相关概念：
  组数：在统计数据时，我们把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数。
  组距：每一组两个端点的差。
  

• 频数分布直方图的特点：
  ①能够显示各组频数分布的情况；
  ②易于显示各组之间频数的差别。

  作直方图的目的有：
  作直方图的目的就是通过观察图的形状，判断生产过程是否稳定，预测生产过程的质量。
  1判断一批已加工完毕的产品；
  搜集有关数据。
  直方图将数据根据差异进行分类，特点是明察秋毫地掌握差异。
  2在公路工程质量管理中，作直方图的目的有：
  ①估算可能出现的不合格率；
  ②考察工序能力估算法
  ③判断质量分布状态；
  ④判断施工能力；

• 直方图绘制注意事项:
  a. 抽取的样本数量过小，将会产生较大误差，可信度低，也就失去了统计的意义。因此，样本数不应少于50个。
  b. 组数 k 选用不当，k 偏大或偏小，都会造成对分布状态的判断有误。
  c. 直方图一般适用于计量值数据，但在某些情况下也适用于计数值数据，这要看绘制直方图的目的而定。
  d. 图形不完整，标注不齐全，直方图上应标注：公差范围线、平均值 的位置(点画线表示)不能与公差中心M相混淆；图的右上角标出：N、S、C p或 CPK.

• 制作频数分布直方图的方法:
  ①集中和记录数据，求出其最大值和最小值。数据的数量应在100个以上，在数量不多的情况下，至少也应在50个以上。 我们把分成组的个数称为组数，每一个组的两个端点的差称为组距。
  ②将数据分成若干组，并做好记号。分组的数量在5－12之间较为适宜。
  ③计算组距的宽度。用最大值和最小值之差去除组数，求出组距的宽度。
  ④计算各组的界限位。各组的界限位可以从第一组开始依次计算，第一组的下界为最小值减去最小测定单位的一半，第一组的上界为其下界值加上组距。第二组的下界限位为第一组的上界限值，第二组的下界限值加上组距，就是第二组的上界限位，依此类推。
  ⑤统计各组数据出现频数，作频数分布表。
  ⑥作直方图。以组距为底长，以频数为高，作各组的矩形图。

  应用步骤：
  (1)收集数据。作直方图的数据一般应大于50个。
  (2)确定数据的极差(R)。用数据的最大值减去最小值 求得。
  (3)确定组距(h)。先确定直方图的组数，然后以此组数去除极差，可得直方图每组的宽度，即组距。组数的确定要适当。组数太少，会引起较大计算误差；组数太多，会影响数据分组规律的明显性，且计算工作量加大。
  (4)确定各组的界限值。为避免出现数据值与组界限值重合而造成频数据计算困难，组的界限值单位应取最小测量单位的1/2。分组时应把数据表中最大值和最小值包括在内。
  第一组下限值为：最小值-0.5;
  第一组上限值为：第一组下限值加组距;
  第二组下限值就是第一组的上限值；
  第二组上限值就是第二组的下限值加组距；
  第三组以后，依此类推定出各组的组界。
  (5)编制频数分布表。把多个组上下界限值分别填入频数分布表内，并把数据表中的各个数据列入相应的组，统计各组频数据(f )。
  (6)按数据值比例画出横坐标。
  (7)按频数值比例画纵坐标。以观测值数目或百分数表示。
  (8)画直方图。按纵坐标画出每个长方形的高度，它代表取落在此长方形中的数据数。(注意：每个长方形的宽度都是相等的。)在直方图上应标注出公差范围(T)、样本容量(n)、样本平均值(x)、样本标准偏差值(s)和x的位置等。

考点名称：折线图

• 定义：
  用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段把各点顺次连接起来。
  折线统计图不但可以表示项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况。

• 折线图特点：
  易于显示数据的变化的规律和趋势。可以用来作股市的跌涨和统计气温。
  
  折线图具有下列图表子类型：
  折线图和带数据标记的折线图 折线图用于显示随时间或有序类别而变化的趋势，可能显示数据点以表示单个数据值，也可能不显示这些数据点。
  在有很多数据点并且它们的显示顺序很重要时，折线图尤其有用。如果有很多类别或者数值是近似的，则应该使用不带数据标记的折线图。

• 几种折线图区别：
  堆积折线图和带数据标记的堆积折线图：
  堆积折线图用于显示每一数值所占大小随时间或有序类别而变化的趋势，可能显示数据点以表示单个数据值，也可能不显示这些数据点。如果有很多类别或者数值是近似的，则应该使用无数据点堆积折线图。
  提示：为更好地显示此类型的数据，您可能要考虑改用堆积面积图。
  
  百分比堆积折线图和带数据标记的百分比堆积折线图：
  百分比堆积折线图用于显示每一数值所占百分比随时间或有序类别而变化的趋势。
  
  三维折线图：三维折线图将每一行或列的数据显示为三维标记。
  三维折线图具有可修改的水平轴、垂直轴和深度轴。