题文

在7×7的单位正方形的网格中，共有64个格点，有许多以这些格点为顶点的正方形．这些正方形的面积有多少个不同的值？

题型：解答题  难度：中档

答案

由于正方形的顶点都是方格网中的格点， 如图中的阴影正方形的面积为：a2+b2，其中0≤a+b≤7， 不失一般性，设a≥b，可以枚举所有可能的（a，b）值： （0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（7，0）； （1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1）； （2，2），（3，2），（4，2），（5，2）； （3，3），（4，3）． 其中（0，0）不合题意舍去，此外，52=42+32， 即（5，0）与（4，3）给出相同的面积． 检验可知，其他面积值两两不同， 所以，共有18个不同的面积．

据专家权威分析，试题“在7×7的单位正方形的网格中，共有64个格点，有许多以这些格点为顶..”主要考查你对  逻辑推理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

逻辑推理

考点名称：逻辑推理

• 定义:
  把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理。简而言之可以理解为宇宙中任意基本“原件”的排列组合得出的现象或概念，属于唯心主义范畴。假如存在不同的感知系统，对于“同一组基本原件”在特定时空的排列组合方式所呈现的现象或概念，可以得出不同的逻辑推理方式。

  基本依据：
  当对一个命题的正确性进行判断时，一个东西不能同时是什么又不是什么，不可能同时是甲又是乙，如果出现这种情况，就说明在逻辑上是矛盾的。
  
  一般解法：
  从某一个条件出发，根据其他条件进行正确推理，如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾，这就是所要求的方案；如果得到相互矛盾的结果，就必须改换其他条件重新开始，知道得出满足条件的方案为止。

• 逻辑中有三种逻辑推理的方式：
  演绎、归纳和溯因。给定前提、结论和规则，而前提导致结论，则可分别解释如下：
  
  演绎用来决定结论 。它使用规则和前提来推导出结论 。数学家通常使用这种推理。
  举例："若下雨，则草地会变湿。因为今天下雨了，所以今天草地是湿的。"。
  
  归纳用来决定规则 。它借由大量的前提和结论所组成的例子来学习规则 。科学家通常使用这种推理。
  举例："每次下雨，草地都是湿的。因此若明天下雨，草地就会变湿。"。
  
  溯因用来决定前提 。它借由结论和规则来支援前提以解释结论 。诊断和侦探通常使用这种推理。
  举例："若下雨，草地会变湿。因为草地是湿的，所以曾下过雨。"

• 6大逻辑推理技巧: 
  1. 计算推导:
  计算推导是逻辑推理过程中最基本的方法。我们每个人从小学开始就学会做计算了，但是对于计算的用处究竟有多大，能够透露出多少隐藏在问题背后的信息，就不是人人都清楚的了。
  事实上，计算和其他推理技巧一样，都是我们进行逻辑推理时最基本、最可靠的工具，特别是在运用代数的方法来解决问题时，它往往能暴露问题的本质，使我们得出充足、可靠的结论。但是要注意:计算推导一定要完备，不能漏掉任何一种情况，哪怕这种情况的出现是如此的不正常。
  
  2. 演绎推理:
  演绎是一种由一般到个别的推理方法。在演绎推理过程中，前提和结论之间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围。
  对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征。
  演绎推理中有一种特殊的方法，称为递推。所谓递推，就是利用研究对象之间的联系，用前一步的结论去推导下一步的结论，以达到简化问题的目的。递推是一种非常有效的思考方法，它有点像多米诺骨牌，推倒第一块以后，后面的骨牌就会依次倒下。如果能够熟练运用递推技巧，你会发现，许多看上去很难的题目也可以轻松地找到答案。
  
  3.归纳分类:
  归纳是一种由个别到一般的推理方法。与演绎推理不同，归纳推理得出的结论不一定绝对正确，所以有时我们称它具有或然性。但归纳推理中有一种特殊的完全归纳推理，应用完全归纳推理时，只要我们考察了该类事物的全部对象，那么结论就必然是完全真实的。
  在进行归纳推理时，一个很重要的技巧就是要对它们进行分类，把它们分成若干个小组，然后分别进行分析。分类可以使每一部分的研究对象都比原来的问题更简单，相互之间的关系更清晰。
  
  4.反向思考:
  反向思考是解决逻辑推理问题的一种特殊方法。任何一个问题都有正反两个方面。所谓正难则反，很多时候，从正面解决问题相当困难，这时如果从其反面去想一想，常常会茅塞顿开，获得意外的成功。这就是反向思考。
  在进行逻辑推理时，有时已知的条件很多，能够运用的逻辑关系也很复杂，要从众多的可能性中寻找所需要的结果，往往是非常困难的。这时，我们可以运用反向思考方法，从结果出发，排除掉一些不可能的情况，使剩下的情况减少，便于我们最后的分析。如果情况减少到一定程度，我们甚至可以用穷举的方法，依次考察所有情况，从而找到问题的答案。
  
  5. 图表分析:
  在逻辑思考过程中有这样一些问题，所涉及或所列出的事物情况比较多，而且又具有一定的表列特征，这时候如果我们把它转化成一个直观易读的图形或者表格，就会非常容易地迅速寻找到答案。
  图表会给我们指出一些逻辑关系链，它们限制了选择的可能性，使得我们需要考虑的情况得到极大的简化。假如不利用图表的帮助，单凭想像，则往往容易产生混乱，难于理清头绪。 除了用图表来展现我们看到的问题以外，有时候我们还需要研究别人提供的图表。这时，看出图像的本质就很重要了。
  有一种常见的方式剥出图像的本质，那就是染色。所谓染色，就是将研究对象按照一定的要求涂上颜色来解决问题。实质上，染色就是利用图形和颜色来进行分类，从而更加直观地显现出问题的本质。
  
  6.思维变换:
  在逻辑推理过程中，我们经常需要改变自己的思路，也就是进行思维变换，它往往可以使问题变得更容易解决。
  这里我们着重介绍两种重要的思维变换技巧：对应和转化。
  所谓对应，就是将两类元素一一对应，从而把我们需要解决的元素，变换成与其相对应的另外一些元素。对应可以使我们不用去处理问题中较复杂的部分，从而达到简化问题的效果，使问题的解决更方便一些。
  转化就是将一个问题转变成另外一个问题来加以解决。和对应有些类似，转化也运用了一一对应的方式，差别在于它更偏重于把整个问题都转化为另一个问题。通常情况下，是将复杂的问题转化为较简单的问题，或者是将一个未解决的问题转化为一个已经解决的问题。