题文

凸n边形P中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？

题型：解答题  难度：中档

答案

当n≥3为奇数时，存在合乎要求的染法；当n≥4为偶数时，不存在所述的染法． 每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为Cn3个，而颜色的三三搭配也刚好有Cn3种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应． 我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成Cn-12种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在Cn-12个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有 C 2n n = n-1 2 条． 当n为偶数时， n-1 2 不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设n=2m+1为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸2m+1边形的各个顶点依次记为A1，A2，A2m+1．对于i?{1，2，2m+1}，按mod2m+1理解顶点Ai．再将2m+1种颜色分别记为颜色1，2，2m+1． 将边AiAi+1染为颜色i，其中i=1，2，2m+1．再对每个i=1，2，2m+1，都将线段（对角线）Ai-kAi+1+k染为颜色i， 其中k=1，2，m-1．于是每种颜色的线段都刚好有m条．注意，在我们的染色方法之下，线段Ai1Aj1与Ai2Aj2同色， 当且仅当i1+j1≡i2+j2（mod2m+1）．① 因此，对任何i≠j（mod2m+1），任何k≠0（mod2m+1），线段AiAj都不与Ai+kAj+k同色．换言之， 如果i1-j1≡i2-j2（mod2m+1）．② 则线段Ai1Aj1都不与Ai2Aj2同色． 任取两个三角形△Ai1Aj1Ak1和△Ai2Aj2Ak2，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设Ai1Aj1与Ai2Aj2同色． 情形1：如果Aj1Ak1与Aj2Ak2也同色，则由①知i1+j1≡i2+j2（mod2m+1），j1+k1≡j2+k2（mod2m+1）， 将二式相减，得f（A）=f（B），故由②知Ak1Ai1不与Ak2Ai2同色． 情形2：如果Ai1Ak1与Ai2Ak2也同色，则亦由①知i1+j1≡i2+j2（mod2m+1），i1+k1≡i2+k2（mod2m+1）， 将二式相减，亦得j1-k1≡j2-k2（mod2m+1），亦由②知Aj1Ak1与Aj2Ak2不同色．总之，△Ai1Aj1Ak1与△Ai2Aj2Ak2对应不同的颜色组合．

据专家权威分析，试题“凸n边形P中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问..”主要考查你对  逻辑推理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

逻辑推理

考点名称：逻辑推理

• 定义:
  把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理。简而言之可以理解为宇宙中任意基本“原件”的排列组合得出的现象或概念，属于唯心主义范畴。假如存在不同的感知系统，对于“同一组基本原件”在特定时空的排列组合方式所呈现的现象或概念，可以得出不同的逻辑推理方式。

  基本依据：
  当对一个命题的正确性进行判断时，一个东西不能同时是什么又不是什么，不可能同时是甲又是乙，如果出现这种情况，就说明在逻辑上是矛盾的。
  
  一般解法：
  从某一个条件出发，根据其他条件进行正确推理，如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾，这就是所要求的方案；如果得到相互矛盾的结果，就必须改换其他条件重新开始，知道得出满足条件的方案为止。

• 逻辑中有三种逻辑推理的方式：
  演绎、归纳和溯因。给定前提、结论和规则，而前提导致结论，则可分别解释如下：
  
  演绎用来决定结论 。它使用规则和前提来推导出结论 。数学家通常使用这种推理。
  举例："若下雨，则草地会变湿。因为今天下雨了，所以今天草地是湿的。"。
  
  归纳用来决定规则 。它借由大量的前提和结论所组成的例子来学习规则 。科学家通常使用这种推理。
  举例："每次下雨，草地都是湿的。因此若明天下雨，草地就会变湿。"。
  
  溯因用来决定前提 。它借由结论和规则来支援前提以解释结论 。诊断和侦探通常使用这种推理。
  举例："若下雨，草地会变湿。因为草地是湿的，所以曾下过雨。"

• 6大逻辑推理技巧: 
  1. 计算推导:
  计算推导是逻辑推理过程中最基本的方法。我们每个人从小学开始就学会做计算了，但是对于计算的用处究竟有多大，能够透露出多少隐藏在问题背后的信息，就不是人人都清楚的了。
  事实上，计算和其他推理技巧一样，都是我们进行逻辑推理时最基本、最可靠的工具，特别是在运用代数的方法来解决问题时，它往往能暴露问题的本质，使我们得出充足、可靠的结论。但是要注意:计算推导一定要完备，不能漏掉任何一种情况，哪怕这种情况的出现是如此的不正常。
  
  2. 演绎推理:
  演绎是一种由一般到个别的推理方法。在演绎推理过程中，前提和结论之间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围。
  对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征。
  演绎推理中有一种特殊的方法，称为递推。所谓递推，就是利用研究对象之间的联系，用前一步的结论去推导下一步的结论，以达到简化问题的目的。递推是一种非常有效的思考方法，它有点像多米诺骨牌，推倒第一块以后，后面的骨牌就会依次倒下。如果能够熟练运用递推技巧，你会发现，许多看上去很难的题目也可以轻松地找到答案。
  
  3.归纳分类:
  归纳是一种由个别到一般的推理方法。与演绎推理不同，归纳推理得出的结论不一定绝对正确，所以有时我们称它具有或然性。但归纳推理中有一种特殊的完全归纳推理，应用完全归纳推理时，只要我们考察了该类事物的全部对象，那么结论就必然是完全真实的。
  在进行归纳推理时，一个很重要的技巧就是要对它们进行分类，把它们分成若干个小组，然后分别进行分析。分类可以使每一部分的研究对象都比原来的问题更简单，相互之间的关系更清晰。