题文

设m，n是给定的整数，4＜m＜n，A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形，P={A1，A2，…，A2n+1}．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．

题型：解答题  难度：中档

答案

先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻． 事实上，设这个凸m边形为P1P2Pm，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设∠PmP1P2＜ π 2 ，则∠P2PjPm=π-∠P2P1Pm＞ π 2 (3≤j≤m-1)， 更有∠Pj-1PjPj+1＞ π 2 (3≤j≤m-1)． 而∠P1P2P3+∠Pm-1PmP1＞π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻． 在凸m边形中，设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角． 设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边（1≤r≤n），这样的（i，j）在r固定时恰有2n+1对． （1）若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧AiAj上，而AiAj劣弧上有r-1个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为Cr-1m-2． （2）若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧AiAj上，取Ai，Aj的对径点Bi，Bj，由于凸m边形在顶点Ai，Aj处的内角为锐角， 所以，其余的m-2个顶点全在劣弧BiBj上，而劣弧BiBj上恰有r个P中的点，此时这m-2个顶点的取法数为Crm-2． 所以，满足题设的凸m边形的个数为 (2n+1) n r=1 ( C m-2r-1 + C m-2r )=(2n+1)( n r=1 C m-2r-1 + n r=1 C m-2r ) =(2n+1)( n r=1 ( C m-1r - C m-1r-1 )+ n r=1 ( C m-1r+1 - C m-1r )) =（2n+1）（Cn+1m-1+Cnm-1）． 故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为：（2n+1）（Cn+1m-1+Cnm-1）．

据专家权威分析，试题“设m，n是给定的整数，4＜m＜n，A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形，P={A1..”主要考查你对  逻辑推理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：