题文

小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的消息：30°方向，距离此处3千米的地方；45°的方向，距离此处2.4千米的地方；“321号水库27°的方向，距离此处1.1千米的地方，根据这些信息画出表示各处位置的一张简图。

题型：操作题  难度：中档

答案

解：以小明所在地方为原点，以正北方向为y轴的正方向，正东方向为x 轴的正半轴建立直角坐标系，如下图所示：

据专家权威分析，试题“小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的消息：30°方向..”主要考查你对  角的概念 ，平面直角坐标系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角的概念 平面直角坐标系

考点名称：角的概念

• 角的基本概念：
  从静态角度认识角：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；
  从动态角度认识角：一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
  ①因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关。
  ②角的大小可以度量，可以比较。
  ③根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
  角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，如∠1，∠α，∠BAD等。

• 角的分类：
  根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
  平角：180^。的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。即射线OA绕点O旋转，当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角；
  直角：90^。的角，即线OA绕点O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；
  锐角：大于0^。小于90^。的角，小于直角的角叫做锐角；
  钝角：大于90^。小于180^。的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角。
  周角：360^。的角，即射线OA绕点O旋转，当终边与始边重合时所成的角。
  
  角的性质：
  ①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
  ②角的大小可以度量，可以比较；
  ③角可以参与运算。
  
  角的度量：
  角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“。”，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”。把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”。1°=60′=3600″。

考点名称：平面直角坐标系

• 平面直角坐标系定义：
  在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
  其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；
  铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；
  两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；
  建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
  
  为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
  注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

• 特殊位置的点的坐标的特点：
  1.x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。
  2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
  3.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。
  4.点到轴及原点的距离
  点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根；
  
  对称点：
  1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）
  2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）
  3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）

  点的符号：
  横坐标 纵坐标
  第一象限：（+，+）正正
  第二象限：（-，+）负正
  第三象限：（-，-）负负
  第四象限：（+，-）正负
  x轴正半轴：（+，0）
  x轴负半轴：（-，0）
  y轴正半轴：（0，+)
  y轴负半轴： (0，-）
  x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。
  原点：（0，0）
  注：以数对形式（x，y）表示的坐标系中的点（如2，-4），“2”是x轴坐标，“-4”是y轴坐标。
  
  其他公式：
  1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
  2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
  3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
  4.一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
  5.y轴上的点，横坐标都为0。
  6.x轴上的点，纵坐标都为0。
  7.坐标轴上的点不属于任何象限。
  8.一个关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
  9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
  10.与x轴做轴对称变换时，x不变，y变
  11.与y轴做轴对称变换时，y不变，x变
  12.与原点做轴对称变换时，y与x都变

• 应用：
  用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系：
  与数学上的直角坐标系不同的是，它的横轴为X轴，纵轴为Y轴。在投影面上，由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴（Y轴）以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系，否则称为独立坐标系。
  
  坐标方法的简单应用：
  1.用坐标表示地理位置
  2.用坐标表示平移
  在测量学中使用的平面直角坐标系统，包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。
  通常选择：
  高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面；
  纵坐标轴为x轴，向上(向北)为正；
  横坐标轴为y轴，向右(向东)为正；
  角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取，象限也按逆时针方向编号。