题文

已知a，b，c为实数，且a2+b2+c2+2ab=1，2ab（a2+b2+c2）= 1 4 ，一元二次方程（a+b）x2-（2a+c）x-（a+b）=0的两根为α，β．试求2α3+β-5-β-1的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

由已知 (a2+b2+c2)+2ab=1 2ab(a2+b2+c2)= 1 4 ， 得a2+b2+c2及2ab是方程t2-t+ 1 4 =0的两根． 而方程t2-t+ 1 4 =0的两根为t1=t2= 1 2 ， ∴a2+b2+c2=2ab= 1 2 ． 解得a=b=± 1 2 ，c=0， 于是，题设方程可化为x2-x-1=0①． 由α，β是方程①的两根， 则α+β=1，且 α2-α-1=0② β2-β-1=0③ ． 由②得α2=α+1， 从而α3=α?α2=α（α+1）=α2+α=2α+1． 显然β≠0， 将③两边分别除以β，β2． 得 1 β =β-1， 1 β2 =1- 1 β =2-β． 而β-3=β-1?β-2=（β-1）（2-β）=3β-β2-2=2β-3． β-5=β-2?β-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β2-6=7β-2（β+1）-6=5β-8． ∴2α3+β-5-β-1=4（α+β）-5=-1．

据专家权威分析，试题“已知a，b，c为实数，且a2+b2+c2+2ab=1，2ab（a2+b2+c2）=14，一元二..”主要考查你对  有理数的乘方，一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方一元二次方程的解法

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：
  

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有