题文

已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求( 1 a + 1 b + 1 c )abc的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

由a、b、c均为整数，a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，得 a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c-1 ∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c-4 （4a2-4ab+b2）+（3b2-12b+12）+（4c2-8c+4）≤0 （2a-b）2+3（b2-4b+4）+4（c2-2c+1）≤0 （2a-b）2+3（b-2）2+4（c-1）2≤0 ∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0， 解得 a=1，b=2，c=1， ∴( 1 a + 1 b + 1 c )abc= 25 4 ．

据专家权威分析，试题“已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求(1a+1b+1c)ab..”主要考查你对  有理数的乘方，代数式的求值   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方代数式的求值

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：
  

考点名称：代数式的求值

• 代数式的值：
  用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。

• 代数式求值的步骤：
  （1）代入；
  （2）计算。
  常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
  注：代数式的值的取值条件：
  （1）不能使代数式失去意义；
  （2）不能使所表示的实际问题失去意义。

• 求代数式的值的方法：
  ①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。
  ②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。
  ③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。