题文

如图，已知OC、OD是∠AOB内的两条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD． （1）若∠AOB=132°，∠COD=22°，求∠EOF的度数； （2）若∠EOF=α，∠COD=β，求∠AOB的度数．（用含α、β的代数式表示）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）依题意，得∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=110°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠COE+∠DOF=（∠AOC+∠BOD）=55°， ∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=55°+22°=77°； （2）依题意，得∠COE+∠DOF=∠EOF﹣∠COD=α﹣β， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE+∠BOF=∠COE+∠DOF=α﹣β， ∴∠AOB=∠EOF+∠AOE+∠BOF= α+α﹣β=2α﹣β．

据专家权威分析，试题“如图，已知OC、OD是∠AOB内的两条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（..”主要考查你对  余角，补角，角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

余角，补角角平分线的定义

考点名称：余角，补角

• 余角：
  如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
  ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A
  补角：
  如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
  ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A

• 补角的性质：
  同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
  等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
  余角的性质：
  同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
  等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
  注意：
  ①钝角没有余角；
  ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；
  ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。

• 余角与补角概念认识提示：
  （1）定义中的“互为”一词如何理解？
  如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ， 同样∠2的补角是∠1。
  （2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
  两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
  （3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、 ∠3 互余（互补）吗？
  不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。