如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答有关问题.(1)在第n个图中,第一横行共_________块瓷砖,第一竖列共有_________块瓷砖;(均用含n-九年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 看图形找规律/2019-12-31 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答有关问题.
(1)在第n个图中,第一横行共 _________ 块瓷砖,第一竖列共有 _________ 块瓷砖;(均用含n的代数式表示)
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数;
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值;
(4)黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,问题(3)中,共花多少元购买瓷砖;
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)每﹣横行有(n+3)块,每﹣竖列有(n+2)块.
(2)y=(n+3)(n+2),
(3)由题意,得(n+3)(n+2)=506,解之n1=20,n2=﹣25(舍去).
(4)观察图形可知,每﹣横行有白砖(n+1)块,每﹣竖列有白砖n块,
因而白砖总数是n(n+1)块,n=20时,白砖为20×21=420(块),
黑砖数为506﹣420=86(块).
故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604(元).
(5)当黑白砖块数相等时,有方程n(n+1)=(n2+5n+6)﹣n(n+1).
整理得n2﹣3n﹣6=0.解之得n1=
由于n1的值不是整数,n2的值是负数,故不存在黑砖白块数相等的情形.

据专家权威分析,试题“如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下..”主要考查你对  看图形找规律,代数式的求值 ,一元二次方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

看图形找规律代数式的求值 一元二次方程的应用

考点名称:看图形找规律

  • 看图形找规律的题目也是比较常见的题目,作这种数学规律的题目,都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律,多数情况下,是指变量的变化规律。所以,抓住了变量,就等于抓住了解决问题的关键。

  • 看图形找规律题步骤:
    ①寻找数量关系;
    ②用代数式表示规律;
    ③验证规律。

    解题方法:
    一、基本方法——看增幅
    (一)如增幅相等(此实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
    例:4、10、16、22、28……,求第n位数。
    分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)×6=6n-2

    (二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
    基本思路是:
    1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;
    2、求出第1位到第第n位的总增幅;
    3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
    举例说明:2、5、10、17……,求第n位数。
    分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为:
    〔3+(2n-1)〕×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1)=n2-1
    所以,第n位数是:2+ n2-1= n2+1
    此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。

    (三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

    (四)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。

    二、基本技巧
    (一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
    例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。试按此规律写出的第100个数是什么。
    解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:
    给出的数:0,3,8,15,24,……。
    序列号:   1,2,3, 4, 5,……。
    容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1。

    (二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。
    例如:1,9,25,49,( ),( ),的第n为(2n-1)2

    (三)看例题:
    A: 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即:n3+1
    B:2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即:2n

    (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。
    例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列:  0、3、8、15、24……,
    序列号:1、2、3、4、5
    分析观察可得,新数列的第n项为:n2-1,所以题中数列的第n项为:(n2-1)+2=n2+1

    (五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。
    例 : 4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数)
    同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方。

    (六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。

    (七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。

    三、基本步骤
    1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。
    2、如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律
    3、如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律
    4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题。

考点名称:代数式的求值

  • 代数式的值:
    用数值代替代数式的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果才,叫做代数式的值。

  • 代数式求值的步骤:
    (1)代入;
    (2)计算。
    常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
    注:代数式的值的取值条件:
    (1)不能使代数式失去意义;
    (2)不能使所表示的实际问题失去意义。

  • 求代数式的值的方法:
    ①给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入字母的值,然后计算。
    ②给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值,该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式。
    ③在给定条件中,字母之间的关系不明显,字母的值隐含在题设条件中,该类题应先由题设条件求出字母的值,再求代数式的值。
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