题文

如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

题型：解答题  难度：中档

答案

作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G， ∵∠1=∠2，AD⊥BC， ∴EH=ED（角平分线的性质） ∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC， ∴四边形EFGD是矩形， ∴ED=FG， ∴EH=FG， ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠C， 又∵∠AHE=∠FGC=90°， ∴△AEH≌△CFG（AAS） ∴AE=CF．

据专家权威分析，试题“如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理角平分线的性质

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：角平分线的性质

• 角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

• 角平方线定理：
  ①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
  ②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
  ③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  ④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
  逆定理：
  在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

• 角平分线作法：
  在角AOB中，画角平分线
  
  方法一：
  1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
  2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。
  当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
  
  方法二：
  1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
  2.连接AN与BM，他们相交于点P；
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。