题文

如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分． 当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由 过点P作EF∥AC，如图2 因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作）， 所以EF∥BD______． 所以∠BPE=∠PBD______． 同理∠APE=∠PAC． 因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD______， 即∠APB=∠PAC+∠PBD． （1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由． （2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． （3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

过点P作EF∥AC，如图2 因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作）， 所以EF∥BD （平行线的传递性）． 所以∠BPE=∠PBD （两直线平行，内错角相等）． 同理∠APE=∠PAC． 因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD（等式性质）， 即∠APB=∠PAC+∠PBD． （1）过点P作EF∥AC，如图3， 因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作）， 所以EF∥BD （平行线的传递性）． 所以∠BPF+∠PBD=180° （两直线平行，同旁内角互补）． 同理∠APF+∠PAC=180° （两直线平行，同旁内角互补）． 因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD=360°（等式的基本性质）， 即∠APB+∠PAC+∠PBD=360°． （2）过点P作EF∥AC，如图4， ∠PAC=∠APB+∠PBD； （3）过点P作EF∥AC，如图5， ∠PAC+∠APB=∠PBD． 故答案为：平行线的传递性，两直线平行，内错角相等，等量代换）．

据专家权威分析，试题“如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。