题文

已知：AB∥CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC． （1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E的度数； （2）如图2，当AD⊥BC时，求∠E的度数； （3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E的度数（用含α的式子表示）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过E作EF∥AB， ∵CD∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×40°=20°， ∠CDE= 1 2 ∠BCD= 1 2 ×60°=30°， ∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°， 则∠BED=∠BEF+∠DEF=50°； （2）过E作EF∥AB， ∵CD∥AB， ∴EF∥CD， ∴AD⊥BC， ∴∠AMB=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=90°， ∴∠BED=∠ABE+∠EDC= 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠ADC= 1 2 ×90°=45°； （3）∵∠AMB=α， ∴∠ABC+∠BAD=180°-α， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=180°-α， ∵EF∥AB∥CD， ∴∠BED= 1 2 （180°-α）=90°- 1 2 α．

据专家权威分析，试题“已知：AB∥CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．（1）如图1，..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。