题文

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，说明： （1）AE与BE有怎样的位置关系？为什么？ （2）AE、BE是否是∠BAD和∠ABC的平分线？请说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）AE⊥BE； 理由：延长AE交BC的延长线于F， 如图所示，因为AD∥BC， 所以∠DAE=∠F，∠D=∠DCF， 因为DE=CE， 所以△AFD≌△FEC， 所以AE=FE，AD=FC， 因为AB=AD+BC， 所以AB=BC+CF， 即AB=BF， 所以BE⊥AE。
（2）是； 理由：因为AB=BF，AE=FE， 所以BE平分∠ABC， 因为AE⊥BE， 所以∠ABE+∠EAB=90°， 又因为∠DAB+∠ABC=180°， 所以∠DAE+∠CBE=90°， 所以∠DAE=∠BAE， 即AE平分∠BAD。

据专家权威分析，试题“如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，说明：（..”主要考查你对  垂直的判定与性质，角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

垂直的判定与性质角平分线的定义

考点名称：垂直的判定与性质

• 垂线的定义：
  两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
  垂线的性质：
  性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
  垂直的判定：垂线的定义。

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。