题文

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点． （1）求证：MN⊥BD； （2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：连接BM、DM． ∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点， ∴BM=DM= 1 2 AC， ∵N是BD的中点， ∴MN是BD的垂直平分线， ∴MN⊥BD． （2）∵∠BCA=15°，BM=CM= 1 2 AC， ∴∠BCA=∠CBM=15°， ∴∠BMA=30°， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠BMA=30°， ∵AC=10，BM= 1 2 AC， ∴BM=5， 在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°， ∴MN= 1 2 BM=2.5， 答：MN的长是2.5．

据专家权威分析，试题“如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，..”主要考查你对  三角形的外角性质，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。