题文

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD． （1）求证：点F是CD边的中点； （2）求证：∠MBC=2∠ABE．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD， ∵AF⊥BE， ∴∠AOE=90°， ∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°， ∴∠AEB=∠BAF， ∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠AFD， ∴∠AEB=∠AFD， ∵∠BAD=∠D，AB=AD， ∴△BAE≌△ADF， ∴AE=DF， ∵E为AD边上的中点， ∴点F是CD边的中点； （2）证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB， ∵BM=DM+CD， ∴DG=DC=BC， ∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF， ∴△FDG≌△FCB（SAS）， ∴∠DFG=∠CFB， ∴B，F，G共线， ∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD ∴AE=CF， ∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF， ∴△ABE≌△CBF， ∴∠ABE=∠CBF， ∵AG∥BC， ∴∠AGB=∠CBF=∠ABE， ∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE， ∴∠MBC=2∠ABE．

据专家权威分析，试题“如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是..”主要考查你对  三角形的外角性质，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
  特殊的长方形。
  四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
  有一组邻边相等的矩形是正方形。
  有一个角为直角的菱形是正方形。
  对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
  对角线相等的菱形是正方形。

• 正方形的性质：
  1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
  2、内角：四个角都是90°；
  3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
  4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
  5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
  6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
  正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
  7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
  正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
  8、正方形是特殊的长方形。

• 正方形的判定：
  判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
  1：对角线相等的菱形是正方形。
  2：有一个角为直角的菱形是正方形。
  3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
  4：一组邻边相等的矩形是正方形。
  5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
  6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
  7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
  8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
  9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
  
  有关计算公式：
  若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
  正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
  正方形周长计算公式: C=4a 。
  S_正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）