题文

问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题： 如图①，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若CM=DN，则∠BON=108°． 该小组提出了一个大胆的猜想：如图②，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若DM=EN，则∠BON=108°． 请问他们的猜想是否正确？若正确，请写出解答过程；若不正确，请 说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

结论：猜想正确 证明：连接EC、BD， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠BCD=∠CDE=∠DEA=108°，BC=CD=DE， ∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°， △BCD≌△CDE， ∴∠NEC=∠BDM=∠BCE=72°，BD=EC， 又∵DM=EN， ∴△CEN≌△BDM， ∴∠ECN=∠DBM， ∴∠BON=∠OBC+∠OCB=∠DBC+∠ECB=36°+72°=108°， ∴∠BON=108°．

据专家权威分析，试题“问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题：如图..”主要考查你对  三角形的外角性质，多边形的内角和和外角和  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质多边形的内角和和外角和

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。

考点名称：多边形的内角和和外角和

• 在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。
  对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
  外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
  如图示:
  
  多边形的内角和：
  n边形的内角和等于（n-2）·180°。(多边形内角和定理)
  多边形的外角和：
  在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。
  多边形的外角和等于360°。（与边数无关） (多边形的外角和定理)

• 多边形外角和列举: