题文

已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D． （1）如图（1），若点M在线段AD上（点M不与点A重合），则∠AMB______∠AMC（请填＞，=或＜）； （2）如图2，若点M在线段BD上（点M不与点B，D重合），点N在线段CD上且ND=MD，则∠AMB______∠ANC，∠AMC______∠ANC（请填＞，=或＜）； （3）如图3，若点M在△ABD的内部，是比较∠AMB与∠AMC的大小，并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴∠BAM=∠CAM（等腰三角形三线合一）， 在△ABM与△ACM中， AB=AC ∠BAM=∠CAM AM=AM ， ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴∠AMB=∠AMC； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADM=∠ADN=90°， 在△ADM与△ADN中， ND=MD ∠ADM=∠ADN=90° AD=AD ， ∴△ADM≌△ADN（SAS）， ∴∠AMD=∠AND， ∴180°-∠AMD=180°-∠AND， 即∠AMB=∠ANC， 在Rt△ADN中，∠AND是锐角， ∴∠AND＜∠ANC， ∴∠AMC＜∠ANC； （3）如图，作点M关于AD的对称点N，连接AN，CN，延长CN交AM于点P， ∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴AD垂直平分BC， ∴点B、C关于AD所在的直线对称， ∴△ABM≌△ACN， ∴∠1=∠2， ∵∠2是△APN的外角， ∴∠2＞∠3， ∵∠3是△PMC的外角， ∴∠3＞∠PMC， ∴∠1＞∠PMC， 即∠AMB＞∠AMC． 故答案为：（1）=；（2）=，＜；（3）∠AMB＞∠AMC．

据专家权威分析，试题“已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D．（1）如图（1），若点M在线段AD上（点M..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。