题文

如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线． （1）求证：∠A=2∠H； （2）若△ABC中，AB=AC，当∠A等于多少度时，AB∥HC．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵BH、CH分别是∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2， ∵∠HCD是△BCH的外角， ∴∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠A=∠ACD-∠ABC=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠H； （2）设∠A=x由（1）得∠H= x 2 ， ∵AB=AC， ∴∠ABC= 180°-x 2 ， ∵BH是∠ABC的平分线， ∴∠1= 180°-x 4 ， ∵∠HCD是△BCH的外角， ∴∠2=∠1+∠H= 180°-x 4 + x 2 ， 要使得AB∥CH，则必须满足∠ABC=∠2 ∴ 180°-x 2 = 180°-x 4 + x 2 ，解得x=60° ∴当∠A等于60°时，AB∥HC．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．（1）求..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。