题文

如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线． （1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数； （2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=50°， ∴∠DAC=40°， ∵∠B=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC= 1 2 ∠BAC=50°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°； （2）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=β， ∴∠DAC=90°-β， ∵∠B=α，∠C=β， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC= 1 2 ∠BAC= 1 2 （180°-α-β）=90°- 1 2 α- 1 2 β， ∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC-∠DAC=（90°- 1 2 α- 1 2 β）-（90°-β）= 1 2 β- 1 2 α， 当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°- 1 2 α- 1 2 β）= 1 2 α- 1 2 β．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．（1）若∠B=30°..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。