题文

如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）β=90°+ 1 2 α；（2）β= 1 2 α；（3）β=90°- 1 2 α． 下面选择（1）进行证明． 在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A． ∵BP与CP是△ABC的角平分线， ∴∠PBC= 1 2 ∠ABC，∠PCB= 1 2 ∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= 1 2 （∠ABC+∠ACB）=90°- 1 2 α． 在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°- 1 2 α）=90°+ 1 2 α． ∴β=90°+ 1 2 α．图（2），结论：∠BPC= 1 2 ∠A． 证明如下： ∠P=∠1-∠2= 1 2 （∠ACD-∠ABC）= 1 2 ∠A． ∴β= 1 2 α； （3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线， ∴∠CBP= 1 2 （∠A+∠ACB），∠BCP= 1 2 （∠A+∠ABC）， ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A- 1 2 （∠ABC+∠ACB）， ∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A- 1 2 （∠ABC+∠ACB）=90°- 1 2 α．