题文

一块三角形布料，三边长分别为13，14，15，需要裁出一圆形布料，其半径的最大值为（　　） A．4 B．6.5 C．7 D．7.5

题型：单选题  难度：偏易

答案

如图，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AH为BC边上的高， 设⊙O的半径为R，BH=x，AH=h，则HC=15-x，OD=OE=OF=R， 在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，即h2+x2=132①， 在Rt△ACH中，AH2+CH2=AB2，即h2+（15-x）2=142②， ②-①得225-30x=196-169， 解得x= 33 5 ， 把x= 33 5 代入①得h2+（ 33 5 ）2=132， 解得h= 56 5 ， ∵S△ABC=S△OAB+S△AOC+S△OBC， ∴ 1 2 h?BC= 1 2 AB?R+ 1 2 AC?R+ 1 2 BC?R， ∴（13+14+15）?R= 56 5 ×15， 解得R=4． 即圆形布料的半径的最大值为4． 故选A．

据专家权威分析，试题“一块三角形布料，三边长分别为13，14，15，需要裁出一圆形布料，..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
  者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
  
  例如在△ABC中
  3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
  4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
  5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
  6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
  7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
  8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
  9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
  10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。