题文

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x> 即：当n为非负整数时，如果，则<x>=n， 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，… 试解决下列问题： （1）填空：①<π>=____（π为圆周率）； ②如果<2x-1>=3，则实数x的取值范围为____； （2）①当；m为非负整数时，求证：<x+m>=m+<x>； ②举例说明不恒成立； （3）求满足的所有非负实数x的值； （4）设n为常数，且为正整数，函数y=x2-x+的自变量x在n≤x≤n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b，求证：a=b=2n。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①3；②； （2）①证明： 设<x>=n， 则n-≤x＜n+，n为非负整数； 又（n+m）-≤x+m＜（n+m）+，且m+n为非负整数， ∴<x+m>=n+m=m+<x>； ②举反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2， 而<0.6+0.7>=<1.3>=1， ∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>， ∴<x>+<y>=<x+y>不一定成立； （3）作y=<x>，y=的图象，如图 y=<x>的图象与y=图象交于点（0，0）、、， ∴x=0，； （4）∵函数y=x2-x+=（x-）2，n为整数， 当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大， ∴（n-）2≤y＜（n+1-）2， 即（n-）2≤y＜（n+）2，① ∴n2-n+≤y＜n2+n+， ∵y为整数， ∴y=n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n个y， ∴a=2n②， 则，③ 比较①，②，③得：a=b=2n。

据专家权威分析，试题“对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>即：当n为非负整..”主要考查你对  科学记数法和有效数字  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

科学记数法和有效数字

考点名称：科学记数法和有效数字

• 定义：
  把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种计数法叫做科学记数法。
  有效数字：
  从一个数的左边非0数字其，到末尾数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

• 科学记数法的特点：
  （1）简单：对于数目很大的数用科学记数法的形式表示起来又科学、又简单。
  （2）科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的，其中一个因数为a（1≤a＜10，a∈N*），另一个因数为10ⁿ（n是比原来数A的整数部分少1的正整数）。
  （3）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。

• 速写法：
  对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数位”的个数，即代表0的个数。
  如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.8×10¹²或1.8E¹²。
  10的指数小于0的情形，数出“非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）”
  如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.34593×10^-3或9.34593E^-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10^-n（n≥0）
  
  科学计数法的基本运算：
  数字很大的数，一般我们用科学记数法表示，
  例如6230000000000，我们可以用6.23×10¹²表示，
  而它含义从直面上看是将数字6.23中6后面的小数点向右移去12位。
  若将6.23×10¹²写成6.23E¹²，
  即代表将数字6.23中6后面的 小数点向右移去12位，在记数中如
  1. 3×10⁴+4×10⁴=7×10⁴可以写成3E4+4E4=7E4
  即 aEc+bEc=(a+b)Ec
  2. 4×10⁴－7×10⁴=－3×10⁴可以写成4E4－7E4=－3E4
  即 aEc-bEc=(a-b)Ec
  3. 3000000×600000=1800000000000
  3e6×6e5=1.8e12
  即 aEM×bEN=abE(M+N)
  4. -60000÷3000=-20
  -6E4÷3E3=-2E1
  即 aEM÷bEN=a/bE(M-N)
  5.有关的一些推导
  （aEc)²=（aEc)（aEc)=a²E2c
  （aEc)³=（aEc)（aEc)（aEc)=a³E3c
  （aEc)ⁿ=aⁿEnc
  a×10^lgb=ab
  aElgb=ab