题文

周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的 1 2 ，则该三角形的（　　） A．腰和底边的高都是有理数 B．腰和底边的高都不是有理数 C．腰是有理数，底边上的高是无理数 D．腰是无理数，底边上的高是有理数

题型：单选题  难度：中档

答案

因为三角形的三边都必须为正数，且三边之和要为有理数， 所以三角形的三边都必须是有理数，即边AB，AC，BC都为有理数， 因为AD= 1 2 BC，又根据等腰三角形三线合一的性质得到： D为BC的中点，所以BD=DC=AD= 1 2 BC， 所以BD，CD，AD都为有理数，即等腰三角形的腰和底边上的高都为有理数． 故选A

据专家权威分析，试题“周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的12，则该三角形..”主要考查你对  无理数的定义，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

无理数的定义直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：无理数的定义

• 无理数定义：
  即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
  无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。

• 无理数性质：
  无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数 
  性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
  性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
  性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数 
  性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数

• 无理数与有理数的区别：
  1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
  比如：4=4.0，=0.8，=0.33333……
  而无理数只能写成无限不循环小数，
  比如：=1.414213562…………
  根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；
  2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。

• 无理数的识别：
  判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
  初中常见的无理数有三种类型：
  （1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
  （2）化简后含π的式子；
  （3）不循环的无限小数。
  掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

• 无理数的历史：
  毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
  公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
  希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
  不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
  然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）