题文

请阅读材料： ①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为log28log=3（即log28=3）．   ②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． （1）计算下列各对数的值： log24=______；   log216=______；    log264=______． （2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是______，那么log24、log216、log264存在的关系式是______． （3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN=______  （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） （4）请你运用幂的运算法则am?an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵22=4，∴log24=2， ∵24=16，∴log216=4， ∵26=64，∴log264=6； （2）4×16=64，log24+log216=log264； （3）logaM+logaN=loga（MN）； （4）证明：设logaM=x，logaN=y， 则ax=M，ay=N， ∴MN=ax?ay=ax+y， ∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）． 故答案为：2，4，6．

据专家权威分析，试题“请阅读材料：①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，..”主要考查你对  有理数的乘方  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：