题文

已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x-4整除， （1）求4a+c的值； （2）求2a-2b-c的值； （3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x2+3x-4是x3+ax2+bx+c的一个因式， ∴x2+3x-4=0，即x=-4，x=1是方程x3+ax2+bx+c=0的解， ∴ a+b+c=-1…① 16a-4b+c=64…② ， ①×4+②得4a+c=12③； （2）由③得a=3- c 4 ，④ 代入①得b=-4- 3 4 c⑤， ∴2a-2b-c=2（3- c 4 ）-2（-4- 3 4 c）-c=14； （3）∵c≥a＞1，又a=3- c 4 ， ∴a=3- c 4 ＜3， 即1＜3- c 4 ＜3， 解得 12 5 ＜c＜8， 又∵a、c是大于1的正整数， ∴c=3、4、5、6、7，但a=3- c 4 ，a也是正整数， ∴c=4， ∴a=2， ∴b=-4- 3 4 c=-7． 故a=2，b=-7，c=4．

据专家权威分析，试题“已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x-4整除，..”主要考查你对  代数式的求值 ，整式的除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

代数式的求值 整式的除法

考点名称：代数式的求值

• 代数式的值：
  用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。

• 代数式求值的步骤：
  （1）代入；
  （2）计算。
  常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
  注：代数式的值的取值条件：
  （1）不能使代数式失去意义；
  （2）不能使所表示的实际问题失去意义。

• 求代数式的值的方法：
  ①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。
  ②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。
  ③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。

考点名称：整式的除法

• 整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的幂相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 单项式除以多项式，用单项式除以多项式的每一项，再将所得的商相加并合并同类项。

• 整式的除法法则：
  1、同底数的幂相除：法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
  数学符号表示： （a≠0，m、n为正整数，并且m>n）
  2、两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；
  对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
  3、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

• 整式的除法运算：
  单项式÷单项式
  单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；
  对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
  注：单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的。
  
  多项式÷单项式
  多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
  说明：多项式（没有同类项）除以单项式，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项。
  
  多项式÷单项式
  多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
  单项式除以多项式，用单项式除以多项式的每一项，再将所得的商相加并合并同类项。