题文

已知二次方程x2+x-1=0的两根为α、β，求2α5+β3的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵二次方程x2+x-1=0的两根为α、β， ∴α2+α-1=0，β2+β-1=0， 则α5=α?α2?α2=α?（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3 β3=β?β2=β（1-β）=β-β2=β-（1-β）=2β-1 ∴2α5+β3=2（5α-3）+2β-1=10α+2β-7， 根据根与系数的关系有α+β=-1， 则β=-1-α， 所以原式=10α+2（-1-α）-7=8α-9 解方程可知：α= -1± 5 2 ， 所以原式=-13±4 5 ． 即2α5+β3的值为-13±4 5 ．

据专家权威分析，试题“已知二次方程x2+x-1=0的两根为α、β，求2α5+β3的值．-数学-”主要考查你对  代数式的求值 ，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

代数式的求值 一元二次方程根与系数的关系

考点名称：代数式的求值

• 代数式的值：
  用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。

• 代数式求值的步骤：
  （1）代入；
  （2）计算。
  常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
  注：代数式的值的取值条件：
  （1）不能使代数式失去意义；
  （2）不能使所表示的实际问题失去意义。

• 求代数式的值的方法：
  ①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。
  ②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。
  ③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0