下列说法正确的是()A.二元一次方程2x+3y=17的正整数解有2组B.若x=5y=2是2x-3y=2k的一个解,则k的值是12C.方程y=2x-33x+2y=1的解是x=1y=-1D.若3xm+n与-12x2y2m-1是同类项,则-数学
再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;
③解这个一元一次方程;
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。
例:解方程组:
x+y=9①
{
x-y=5②
解:①+②
2x=14
即 x=7
把x=7代入①,得
7+y=9
解,得:y=2
∴ x=7
y=2 为方程组的解
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。
3)加减-代入混合使用的方法
例:解方程组:
13x+14y=41①
{
14x+13y=40 ②
解:②-①得
x-y=-1
x=y-1 ③
把③ 代入①得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入③得
x=1
所以:x=1,y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。
二、换元法
例:解方程组:
(x+5)+(y-4)=8
{
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。
三、设参数法
例:解方程组:
x:y=1:4
{
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为:5t+6×4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
四、图像法
二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,
两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。
考点名称:二元一次方程的解法
- 二元一次方程的解:
使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。 二元一次方程解法:
二元一次方程有无数个解,除非题目中有特殊条件。
一、消元法
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数,使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
消元方法:
代入消元法(常用)
加减消元法(常用)
顺序消元法(这种方法不常用)
例:
x-y=3 ①
{
3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3(y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
则:这个二元一次方程组的解
x=4
{
y=1(一)加减-代入混合使用的方法.
例:
13x+14y=41 ①
{
14x+13y=40②
②-①得
x-y=-1
x=y-1 ③
把③代入①得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入③得
x=1
所以:x=1,y=2
最后 x=1 ,y=2, 解出来
特点:两方程相加减,得到单个x或单个y,适用接下来的代入消元。(二)代入法
是二元一次方程的另一种方法,就是说把一个方程带入另一个方程中
如:
x+y=590
y+20=90%x
带入后就是:
x+90%x-20=590
(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同的代数式(x+5,y-4),换元后可简化方程。(三)另类换元
例:
x:y=1:4①
5x+6y=29②
令x=t,y=4t
方程2可写为:5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
如:
(x+y)/2-(x-y)/3=6
3(x+y)=4(x-y)
解:
设x+y为a,x-y为b
原=a/2-b/3=6①
3a=4b②
①×6 得3a-2b=36③
把②代入③ 得2b=36 b=18
把b=18代入②得a=24
所以x+y=24④
x-y=18⑤
④-⑤得 2y=6 y=3
把y=3代入④得 x=21
x=21,y=3
是方程组的解
整体代入
如:
2x+5y=15①
85-7y=2x②
解:把②代入①得
85-7y+5y=15
-2y=-70
y=35
把y=35代入②
得x=-80
x=-80,y=35
是方程组的解二元一次方程有两个正根的特点:
二元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个正跟要满足下列3个条件
1、保证有两个跟,即:△≥0,也就是b2-4ac≥0
2、x1+x2>0,即 —b/a>0
3、x1×x2>0,即c/a>0
然后根据所给的条件在求出题目中要求的某些字母的值
二元一次方程整数解存在的条件:
在整系数方程ax+by=c中,
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程
3x+5y=1,
5x-2y=7,
9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立,方程
9x+3y=10和
4x-2y=1都没有整数解,
∵(9,3)=3,而3不能整除10;
(4,2)=2,而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。
二元一次方程整数解的方法:
①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x;
②给定x一个值,求y的一个对应值,就可以得到二元一次方程的一组解;
③根据提议对未知数x、y做出限制,确定x的可能取值,确定二元一次方程所有的整数解。
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