题文

已知a、b、x、y均大于0，x2+y2=1，求证： a2x2+b2y2 + a2y2+b2x2 ≥a+b．

题型：解答题  难度：中档

答案

如图，分别以by、ax和bx、ay作矩形，此两个矩形正好被围在以（a+b）x和（a+b）y的边长的矩形之中， ∴AC=a+b， ∵AB+BC≥AC，而AB= b2y2+a2x2 ，BC= b2x2+a2y2 ， ∴ b2y2+a2x2 + b2x2+a2y2 ≥a+b．

据专家权威分析，试题“已知a、b、x、y均大于0，x2+y2=1，求证：a2x2+b2y2+a2y2+b2x2≥a+b..”主要考查你对  不等式的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

不等式的定义

考点名称：不等式的定义

• 不等式的定义：
  一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。
  不等式组的定义：几个含有相同未知数的不等式联立起来，叫做不等式组。

• 不等式分类：
  不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
  通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

• 不等式的判定：
  ①常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
  ②在不等式“a>b”或“a<b”中，a叫作不等式的左边，b叫作不等式的右边；
  ③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小；
  ④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。