题文

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc， 所以a＜3，故a=1或者a=2。 （1）当a=1时，有b+bc+c=bc， 即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾； （2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0， 所以（b-2）（c-2）=4， 又因为2＜b＜c， 故0＜b-2＜c-2， 于是b-2=1，c-2=4。 即b=3，c=6， 所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6。

据专家权威分析，试题“已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的..”主要考查你对  不等式的比较大小  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

不等式的比较大小

考点名称：不等式的比较大小

• 主要是运用不等式的基本性质及均值不等式进行比较大小。

• 方法：
  ①求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”。
  其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。

  变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少：
  变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式。或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等。总之，能够判断出差的符号是正或负即可。

  ②作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明。