函数y=|x2-1|+|2x2-1|+|3x2-1|取得最小值1时,求自变量x的取值范围.-数学

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题文

函数y=|x2-1|+|2x2-1|+|3x2-1|取得最小值1时,求自变量x的取值范围.
题型:解答题  难度:中档

答案

令x2=t(t≥0),则y=|t-1|+|2t-1|+|3t-1|,
①当0≤t<
1
3
时,y=1-t+1-2t+1-3t=3-6t,此时可得1<y≤3;
②当
1
3
≤t≤
1
2
时,y=1-t+1-2t+3t-1=1,此时可得y=1-t+1-2t+3t-1=1;
③当
1
2
<t≤1时,y=1-t+2t-1+3t-1=4t-1,此时可得1<y≤3;
④当t>1时,y=t-1+2t-1+3t-1=6t-3,此时可得y>3.
综上可得,当
1
3
≤t≤
1
2
是时,ymin=1,
故由
1
3
≤x2
1
2
,知当ymin=1时,-

2
2
≤x≤-

3
3

3
3
≤x≤

2
2

据专家权威分析,试题“函数y=|x2-1|+|2x2-1|+|3x2-1|取得最小值1时,求自变量x的取值范..”主要考查你对  函数值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

函数值

考点名称:函数值

  • 定义:
    函数的值是指自变量在其取值范围内取某个值时,函数与之对应的唯一确定的值。如当x=a时,函数有唯一确定的对应值,这个值就是当x=a时的函数值。

  • 函数值的性质:
    ①当函数式是由一个解析式表示时,欲求函数值,实质就是求代数式的值;
    ②当一只函数解析式,又给出函数值,欲求相应的自变量的值时,实质就是解方程;
    ③当给定函数值的一个取值范围,欲求相应的自变量的取值范围时,实质就是解不等式;
    ④当自变量确定时,函数值时唯一确定的,但当函数值唯一确定时,对应的自变量可以是多个,如y=x2-1,当x=3时,x=±2。