题文

在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　） A． B． C． D．

题型：单选题  难度：中档

答案

∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=2 2 ，OB=OD= 1 2 BD= 2 ， ①当P在OB上时，即0≤x≤ 2 ， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴EF：AC=BP：OB， ∴EF=2BP=2x， ∴y= 1 2 EF?BP= 1 2 ×2x×x=x2； ②当x在OD上时，即 2 ＜x≤2 2 ， ∵EF∥AC， ∴△DEF∽△DAC， ∴EF：AC=DP：OD， 即EF：2 2 =（2 2 -x）： 2 ， ∴EF=2（2 2 -x）， ∴y= 1 2 EF?BP= 1 2 ×2（2 2 -x）×x=-x2+ 2 x， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知： 二次函数的图象是一条抛物线，开口方向决定，二次项的系数． 当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．故选C．

据专家权威分析，试题“在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点..”主要考查你对  函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

函数的图像

考点名称：函数的图像

• 函数图象的概念：
  对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．

• 由函数解析式画其图象的一般步骤：
  ①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
  ②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
  ③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来．
  
  

  利用函数的图象解决实际问题，其关键是正确识别横轴和纵轴的意义，正确理解函数图象的性质，正确地识图、用图．
  
  函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：
  ①由图象的定义可知图象上任意一点P（x，y）中的x，y是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上；
  ②通常判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上，反之亦然；
  ③两个函数图像的交点就是饿两个函数解析式所组成的方程组的解。