题文

如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点． (1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？ (3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：(1)∵A坐标为(1，)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。 ∵甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝， ∴甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形。 ①当t＜时，OM＝2－4t，ON＝6－4t， 假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。 ∴，解得t＝0。即在甲到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB。 ∴MN与AB不可能平行。 ②当＜t＜时， 如图， ∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB ∴MN与AB不平行。 综上所述，在甲、乙两人到达O点前， MN与AB不可能平行。 (2) 由（1）知，当t≤时，△OMN不相似△OBA。 当t＞时，OM＝4t －2，ON＝4t －6， 由解得t＝2＞， ∴当t＝2时，△OMN∽△OBA。 (3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°， ∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)， OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， ∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。 ∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。 ②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)， NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t， ∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。 ③当t＞时，同理可得s＝16t2－32t＋28。 综上所述，s＝16t2－32t＋28。 ∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12， ∴当t＝1时，s有最小值为12， ∴甲、乙两人距离最小值为（km）。

反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。 (1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。 (2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。 (3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题。

据专家权威分析，试题“如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标..”主要考查你对  一次函数的定义，正比例函数的定义，正比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：正比例函数的定义

• 正比例函数定义：
  一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
  正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
  正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
  正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
  当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
  当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

• 正比例函数性质：
  定义域
  R（实数集）
  
  值域
  R（实数集）
  
  奇偶性
  奇函数
  
  单调性
  当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
  当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
  
  周期性
  不是周期函数。
  
  对称性
  对称点：关于原点成中心对称
  对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

考点名称：正比例函数的图像

• 图象：一条经过原点的直线。
  性质：
  （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
  （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
  1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
  2、根据第一步求的x、y的值描出点；
  3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。

• <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
   <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />