题文

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=- 4 3 x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD= 1 4 OB，AC= 1 4 AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a． （1）求点C的坐标； （2）用含a的代数式表示NP； （3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵一次函数y=- 4 3 x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点， ∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB= OA2+OB2 =10， ∴OD= 1 4 OB=2，AC= 1 4 AB= 5 2 ， ∴OD：OB=AC：AB=1：4， ∴CD∥OA， ∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB， ∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形， ∴MN=CE=OD=2，DM=ON， ∴AE= AC2-CE2 = 3 2 ， ∴OE=OA-AE=6- 3 2 = 9 2 ， ∴点C的坐标为：（ 9 2 ，2）； （2）∵NP∥AB， ∴ ON OA = NP AB ， ∵AN=a， ∴ON=OA-AN=6-a， ∴ NP 10 = 6-a 6 ， 解得：NP= 30-5a 3 ； （3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下： 过点D作DQ∥AB交OA于Q，则 OQ OA = OD OB ，即 OQ 6 = 2 8 ， 解得OQ=1.5， ∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5． ∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形． 分两种情况讨论： ①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图． ∵NP∥AB， ∴ ON OA = OP OB ， ∴ OP 8 = 6-a 6 ， 解得：OP= 24-4a 3 ， ∴PD=OP-OD= 18-4a 3 ， ∴PM2=PD2+DM2=（ 18-4a 3 ）2+（6-a）2= 25a2-252a+648 9 ． 由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况： 当PM=MN时， 25a2-252a+648 9 =4，解得a1=4.08，a2=6（不合题意，舍去）； 当PM=PN时， 25a2-252a+648 9 =（ 30-5a 3 ）2，解得a=5.25（不合题意，舍去）； ②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图． ∵NP∥AB， ∴ ON OA = OP OB ， ∴ OP 8 = 6-a 6 ， 解得：OP= 24-4a 3 ， ∴PD=OD-OP= 4a-18 3 ， ∴PM2=PD2+DM2=（ 4a-18 3 ）2+（6-a）2= 25a2-252a+648 9 ． 当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况： 当PM=MN时， 25a2-252a+648 9 =4，解得a1=4.08，a2=6（均不合题意，舍去）； 当PM=PN时， 25a2-252a+648 9 =（ 30-5a 3 ）2，解得a=5.25； 当PN=MN时， 30-5a 3 =2，解得a=4.8． 综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象与x轴，y轴交..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)