题文

如图，直线y= k 3 x-k分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t≥0）（秒）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切； （3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式； （4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由 k 3 x-k=0，k≠0，得x=3， ∴B点坐标为（3，0）， ∵AB=5， ∴A点坐标为（0，4）， ∴直线AB的解析式为y=- 4 3 x+4； （2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为C1或C2，切点为D1，D2，如图所示，连接C1D1，C2D2， 由△AC1D1∽△ABO，得 AC1 AB = C1D1 OB ， 即： 4-0.8t 5 = 1 3 ， ∴t= 35 12 ， 同理由△AC2D2∽△ABO， 可求得t= 85 12 ， ∴当t= 35 12 秒或 85 12 秒时，圆与直线AB相切； （3）如图2，①当t=0时，s=3， ②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC． OC BP = 0.8t t = 4 5 = AO AB ， ∴PC∥OB， ∴ PC OB = AC AO ，即 s 3 = 4-0.8t 4 ， ∴s=- 3 5 t+3， ③当t=5时，s=0， ④当t＞5时，设动圆圆心为C1，动点P在P1处，连接C1P1． 由②同理可知P1C1∥OB． ∴ s 3 = 0.8t-4 4 ，即s= 3 5 t-3， 又当t=0或5时，②中s=3或0， 所以综上所述： 当0≤t≤5时，s=- 3 5 t+3； 当t＞5时，s= 3 5 t-3； （4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1， 当s=1时，由s=- 3 5 t+3，代入得t= 10 3 ； 由s= 3 5 t-3，代入得t= 20 3 ． 20 3 - 10 3 = 10 3 （秒）， ∴动点P自刚接触圆面起，经 10 3 秒后离开了圆面．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=k3x-k分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)