题文

如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 1 2 x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标． （2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式． （3）若在直线y=- 1 2 x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围． （4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM= 1 2 NM=2， ∴KO=6， ∴P（6，2）； （2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0； ②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4， ∴S= 1 2 （2b-4）2=2b2-8b+8， ③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b， ∴S=S△PMN-S△ANH=4-2（4-b）2=-2b2+16b-28， ④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4； （3）以OM为直径作圆，当直线y=- 1 2 x+b（b＞0）与圆相切时，b= 5 +1，如图（五）； 当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4 设Q（x，b- 1 2 x），因为∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ2+QM2=OM2， 即[x2+（b- 1 2 x）2]+[（x-4）2+（b- 1 2 x）2]=42， 整理得 5 2 x2-（2b+8）x+2b2=0， 5 4 x2-（b+4）x+b2=0， 根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）2-5b2≥0，-b2+2b+4≥0，b2-2b-4≤0，可以解得 1- 5 ≤b≤1+ 5 ，由于b＞0，所以0＜b≤1+ 5 ． 故0＜b≤ 5 +1； （4）b的值为4，5，8±2 6 ． ∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b） 当PC=PD时，b=4； 当PC=CD时，b1=2（P、C、D三点共线，舍去），b2=5； 当PD=CD时，b=8±2 6 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)