题文

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，16），D（24，0），点B在第一象限，且AB∥x轴，BD=20，动点P从原点O开始沿y轴正半轴以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，过点P作x轴的平行线与BD交于点C；动点Q从点A开始沿线段AB-BD以每秒8个单位长的速度向点D匀速运动，设点P、Q同时开始运动且时间为t（t＞0），当点P与点A重合时停止运动，点Q也随之停止运动． （1）求点B的坐标及BD所在直线的解析式； （2）当t为何值时，点Q和点C重合？ （3）当点Q在AB上（包括点B）运动时，求S△PQC与t的函数关系式； （4）若∠PQC=90°时，求t的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵A（0，16），D（24，0） ∴AO=16，OD=24 过点B作BF⊥OD于F， ∴∠BOF=90°，AO∥BF，且AB∥x轴 ∴四边形ABFO是矩形 ∴BF=AO=16 在Rt△BFD中，由勾股定理，得 FD=12 ∴OF=12 ∴B（12，16） 设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得 16=12k+b 0=24k+b ，解得 k=- 4 3 b=32 ∴直线BD的解析式为y=- 4 3 x+32 （2）∵PC∥OD ∴ EC FD = BE BF ∴ EC 12 = 16-4t 16 ∴EC=12-3t ∴PC=24-3t，BE=16-4t 过点Q作QH⊥OD于H， ∴ DQ BD = QH BF ∵BQ=8t-12 ∴DQ=32-8t ∴ 32-8t 20 = QH 16 ，解得 QH= 108-32t 5 ∴GQ= 108-52t 5 ∴ 108-52t 5 ?(24-3t) 2 =0，解得 t1=8（不符合题意），t2= 27 13 ∴当t2= 27 13 时点Q和点C重合． （3）当0＜t≤1.5时 S△PQC= (24-3t)(16-4t) 2 ∴S△PQC=6t2-72t+192 ∴当点Q在AB上（包括点B）运动时，求S△PQC与t的函数关系式为S△PQC=6t2-72t+192 （4）∵ BE BF = BC BD ∴ 20-DC 20 = 16-4t 16 ∴DC=5t ∴CQ=32-13t ∵∠PQC=90° ∴△BFD∽△PQC ∴ FD CQ = BD PC ∴ 12 32-13t = 20 24-3t ， 解得t= 11 7

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，16），D（24，0），点B在第一..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)