如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,16),D(24,0),点B在第一象限,且AB∥x轴,BD=20,动点P从原点O开始沿y轴正半轴以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动,过点P作x轴的平-数学

题文

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,16),D(24,0),点B在第一象限,且AB∥x轴,BD=20,动点P从原点O开始沿y轴正半轴以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动,过点P作x轴的平行线与BD交于点C;动点Q从点A开始沿线段AB-BD以每秒8个单位长的速度向点D匀速运动,设点P、Q同时开始运动且时间为t(t>0),当点P与点A重合时停止运动,点Q也随之停止运动.
(1)求点B的坐标及BD所在直线的解析式;
(2)当t为何值时,点Q和点C重合?
(3)当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式;
(4)若∠PQC=90°时,求t的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)∵A(0,16),D(24,0)
∴AO=16,OD=24
过点B作BF⊥OD于F,
∴∠BOF=90°,AO∥BF,且AB∥x轴
∴四边形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中,由勾股定理,得
FD=12
∴OF=12
∴B(12,16)
设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意,得

16=12k+b
0=24k+b
,解得

k=-
4
3
b=32

∴直线BD的解析式为y=-
4
3
x+32

(2)∵PC∥OD
EC
FD
=
BE
BF

EC
12
=
16-4t
16

∴EC=12-3t
∴PC=24-3t,BE=16-4t
过点Q作QH⊥OD于H,
DQ
BD
=
QH
BF

∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
32-8t
20
=
QH
16
,解得
QH=
108-32t
5

∴GQ=
108-52t
5

108-52t
5
?(24-3t)
2
=0,解得
t1=8(不符合题意),t2=
27
13

∴当t2=
27
13
时点Q和点C重合.

(3)当0<t≤1.5时
S△PQC=
(24-3t)(16-4t)
2

∴S△PQC=6t2-72t+192
∴当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式为S△PQC=6t2-72t+192

(4)∵
BE
BF
=
BC
BD

20-DC
20
=
16-4t
16

∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
FD
CQ
=
BD
PC

12
32-13t
=
20
24-3t

解得t=
11
7

据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,16),D(24,0),点B在第一..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

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