题文

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度． （1）求点D，B所在直线的函数表达式； （2）求点M的坐标； （3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A． 在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°， ∴DA=OD?sin∠DOB= 3 ， OA=OD?cos∠DOB=1， ∴点D的坐标为（1， 3 ）， 设直线DB的函数表达式为y=kx+b， 由B（5，0），D（1， 3 ），得 0=5k+b 3 =k+b ， 解得 k=- 3 4 b= 5 4 3 ， ∴直线DB的函数表达式为y=- 3 4 x+ 5 4 3 ； （2）∵∠DMC=∠DOB=60°， ∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°， ∴∠ODM=∠CMB， ∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO， ∴△ODM∽△BMC， ∴ OD BM = OM BC = DM MC ， ∴OD?BC=BM?OM， ∵B点为（5，0）， ∴OB=5． 设OM=x，则BM=5-x ∵OD=BC=2， ∴2×2=x（5-x）， 解得x1=1，x2=4， ∴M点坐标为（1，0）或（4，0）； （3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1， OM=1，BM=4． ∵DC∥OB， ∴∠MDE=∠DMO， 又∵∠DMO=∠MCB， ∴∠MDE=∠MCB， ∵∠DME=∠CMF=α， ∴△DME∽△CMF， ∴ DE CF = DM CM = OD BM = 2 4 = 1 2 ， ∴CF=2DE， ∵CF=2-n，DE=m， ∴2-n=2m，即m=1- n 2 ； （Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2 OM=4，BM=1． 同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF， ∴ DE CF = DM CM = OD BM = 2 1 =2， ∴DE=2CF， ∵CF=2-n，DE=m， ∴m=2（2-n），即m=4-2n． 综上所述，m与n的函数关系式为：m=1- n 2 或m=4-2n．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形O..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)