题文

如图，已知一次函数y=- 3 4 x+3的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为t（s），其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）求线段AB的长； （2）当t为何值时，△ACD的面积等于△AOB面积的 9 80 ； （3）当t为何值时，△ACD是等腰三角形．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4， ∴A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB= 42+32 =5； （2）如图1，作CH⊥OA于H， 则△ACH～△ABO， ∴ CH BO = AC AB ∴ CH 3 = 5-t 5 ∴CH= 3(5-t) 5 ∴S△ACD= 1 2 AD?CH= 1 2 t? 3(5-t) 5 =- 3 10 t2+ 3 2 t， S△AOB= 1 2 OA?OB= 1 2 ×4×3=6， ∴- 3 10 t2+ 3 2 t=6× 9 80 ， 即4t2-20t+9=0 解得：t1= 1 2 ，t2= 9 2 （舍去）， 故t= 1 2 时，S△ACD= 9 80 S△AOB； （3）①如图2，当AC=AD时，5-t=t， ∴解得：t= 5 2 （符合题意）； ②如图3，当AC=CD时，过点C作CH⊥AD于点H， 由（2）得出：CH= 3(5-t) 5 ，AH=DH= 1 2 t， ∴ CH AH = 3(5-t) 5 t 2 = 3 4 ， 解得：t= 40 13 （符合题意）， ③如图4，当AD=CD时，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°， ∴△ADH∽ABO， ∴ AH AO = AD AB ， 5-t 2 4 = t 5 解得：t= 25 13 （符合题意）， 故t为 5 2 或 40 13 或 25 13 时△ACD是一个等腰三角形．

据专家权威分析，试题“如图，已知一次函数y=-34x+3的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)