题文

如图，⊙O是O为圆心，半径为 5 的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点． （1）若OA=OB ①求k； ②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标； （2）若k=- 1 2 ，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①由OA=OB，设A点坐标（a，0），则点B的坐标（0，a）， 把这两点代入直线的解析式y=kx+b得： ak+b=0 b=a ， 解得：k=-1． ②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD， ∴∠CPO=∠DPO= 1 2 ∠CPD=45°，OP= 2 OC= 2 R= 10 ， 又∵直线的函数解析式y=-x+4， 故设P点坐标（x，-x+4） OP= x2+(-x+4)2 = 10 ，解得：x=1或3 ∴P（1，3）或（3，1） （2）由题意得，当直线被切割的弦所对的圆周角为120°时， 弦长为2Rsin60°= 3 R时，弦分圆周为1：2，符合题意， 联立直线和圆的方程得， y=- 1 2 x+b① x2+y2=5② 将①代入②消去y得x2+（- 1 2 x+b）2=5，即 5 4 x2-bx+b2-5=0 利用根与系数的关系可得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2= 16 25 b2- 16 5 b2+16=- 64 25 b2+16， 将①代入②消去x得（2b-2y）2+y2=5，即5y2-8by+4b2-5=0 利用根与系数的关系可得（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2= 16 25 b2- 16 5 b2+16=- 64 25 b2+16， 将解得的两交点坐标用两点间距离公式得 (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 3 R 解得：b=± 5 4 ．

据专家权威分析，试题“如图，⊙O是O为圆心，半径为5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)