题文

如图，已知点A（-12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°． （1）求点C的坐标； （2）求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式； （3）在l上求出满足S△PBC= 1 2 S△ABC的点P的坐标； （4）已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由△AOC∽△COB，可得OC2=OA×OB=36， ∴OC=6 又∵点C在y轴的正半轴上， ∴点C的坐标是（0，6）； （2）过点D作DE⊥BC于点E．设DB的长为m． 在Rt△DEB中，DE=DB?sinB=m? AC AB = 2 5 5 m，BE=DB?cosB= 5 5 m 在Rt△DEC中，∠DCE=45°，于是CE=DE= 2 5 5 m 由CE+BE=BC，即 2 5 5 m+ 5 5 m=3 5 ，解得m=5 又由OA＞OB，知点D在线段OA上，OB=3，所以OD=2，故点D（-2，0）； 设直线l的解析式为：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中， 得 b=6 -2k+b=0 ， 解得 k=3 b=6 ． 故直线l的解析式为：y=3x+6； （3）①取AB的中点F（-4.5，0），过点F作BC的平行线交直线l于点P1，连接CF． 易知S△P1BC=S△FBC=S△ACB，∴点P1为符合题意的点． 直线P1F可由直线BC向左平移BF个单位得到（即向左平移7.5个单位） 而直线BC的解析式为y=-2x+6， 即直线P1F的解的式为y=-2（x+7.5）+6即 y=-2x-9，由 y=-2x-9 y=3x+6 得点P1（-3，-3） ②在直线l上取点P2使CP2=CP1，此时有S△P2BC=S△P1BC= 1 2 S△ACB，∴点符P2合题意． 由CP2=CP1，可得点P2的坐标为（3，15），∴点P（-3，-3）或P（3，15）可使S△PBC= 1 2 S△ABC； （4）当OC是菱形的对角线时，OC的中点的坐标是（0，3），则把y=3代入l的解析式得：3x+6=3， 解得：x=-1． 则M的坐标是（-1，3），N的坐标是（1，3）； 当OC是菱形的一条边时，点N的坐标是（- 18 5 ， 6 5 ），（ 3 10 5 ， 9 10 5 ），（- 3 10 5 ，- 9 10 5 ）． 故N的坐标是（1，3）或（- 18 5 ， 6 5 ）或（ 3 10 5 ， 9 10 5 ）或（- 3 10 5 ，- 9 10 5 ）．

据专家权威分析，试题“如图，已知点A（-12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=9..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)