题文

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根，且OA＜OB． （1）求点A，B的坐标． （2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1= 3 5 ，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y= k x 的图象经过点D，求k的值． （3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）解方程x2-14x+48=0，得：x1=6，x2=8． ∵OA，OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根，且OA＜OB， ∴OA=6，OB=8， ∴A（6，0），B（0，8）． （2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E． 在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10． ∴sin∠OBA= OA AB = 6 10 = 3 5 ． ∵sin∠1= 3 5 ， ∴∠OBA=∠1． ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°， ∴∠OAB=∠ADE． 在△AOB与△DEA中， ∠OBA=∠1 AB=AD ∠OAB=∠ADE ， ∴△AOB≌△DEA（ASA）． ∴AE=OB=8，DE=OA=6． ∴OE=OA+AE=6+8=14， ∴D（14，6）． ∵反比例函数y= k x 的图象经过点D， ∴k=14×6=84． （3）存在． 如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形， ①当AB：AM1=2：1时， 过点M1作M1E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM1∽Rt△BOA， ∴ AE OB = M1E OA = AM1 AB ，即 AE 8 = M1E 6 = 1 2 ， ∴AE=4，M1E=3． 过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1， ∴N1F=AE=4，BF=M1E=3， ∴OF=OB+BF=8+3=11， ∴N1（4，11）； ②当AB：AM2=1：2时， 同理可求得：N2（16，20）． 综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)