题文

如图，平面直角坐标系中，直线AB解析式为：y=- 3 3 x+ 3 ．直线与x轴，y轴分别交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点C是AB的中点，过点C作CD⊥x轴于点D，E，F分别为BC，OD的中点，求点E的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）将y=0代入y=- 3 3 x+ 3 解得x=3，即A点坐标为（3，0） 将x=0代入y=- 3 3 x+ 3 解得y= 3 ，即B点坐标为（0， 3 ）； （2）证得：△ACD∽△ABO CD= 1 2 BO= 1 2 3 ，AD=OD= 1 2 AO= 3 2 ∵E，F分别为BC，OD的中点，CD∥BO ∴EF= 1 2 （BO+CD）= 1 2 （ 3 + 1 2 3 ）= 3 4 OF= 1 2 OD= 3 4 ∴E（ 3 4 ， 3 4 ） …5分 （3）当∠OBP=90°时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP= 3 OB=3，∴P1（3， 3 3 ）． ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP= 3 3 OB=1． ∴P2（1， 3 ）． 当∠OPB=90°时③过点P作OP⊥BC于点P（如图②），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30° 过点P作PM⊥OA于点M． 方法一：在Rt△PBO中，BP= 1 2 OB= 3 2 ，OP= 3 BP= 3 2 ． ∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°， ∴OM= 1 2 OP= 3 4 ；PM= 3 OM= 3 3 4 ． ∴（ 3 4 ， 3 3 4 ）． 方法二：设P（x，- 3 3 x+ 3 ），得OM=x，PM=- 3 3 x+ 3 ，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO． ∵tan∠POM= PM OM =tan∠ABO= OA OB = 3 ． ∴- 3 3 x+ 3 = 3 x，解得x= 3 4 ．此时，（ 3 4 ， 3 3 4 ）． ④若△POB∽△OBA（如图③），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°． ∴PM=OM= 3 4 ． ∴P4（ 3 4 ， 3 4 ）（由对称性也可得到点P4的坐标）． 当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求． 综合得，符合条件的点有四个，分别是：P1（3， 3 3 ），P2（1， 3 ），P3（ 3 4 ， 3 3 4 ），P4（ 3 4 ， 3 4 ）． …做出一种情况1分

据专家权威分析，试题“如图，平面直角坐标系中，直线AB解析式为：y=-33x+3．直线与x轴，y..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)