如图,平面直角坐标系中,直线AB解析式为:y=-33x+3.直线与x轴,y轴分别交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)若点C是AB的中点,过点C作CD⊥x轴于点D,E,F分别为BC,OD的中点-数学

题文

如图,平面直角坐标系中,直线AB解析式为:y=-

3
3
x+

3
.直线与x轴,y轴分别交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点C是AB的中点,过点C作CD⊥x轴于点D,E,F分别为BC,OD的中点,求点E的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)将y=0代入y=-

3
3
x+

3
解得x=3,即A点坐标为(3,0)
将x=0代入y=-

3
3
x+

3
解得y=

3
,即B点坐标为(0,

3
);

(2)证得:△ACD∽△ABO CD=
1
2
BO=
1
2

3
,AD=OD=
1
2
AO=
3
2

∵E,F分别为BC,OD的中点,CD∥BO
∴EF=
1
2
(BO+CD)=
1
2

3
+
1
2

3
)=

3
4
OF=
1
2
OD=
3
4

∴E(
3
4

3
4
) …5分

(3)当∠OBP=90°时,如图①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=

3
OB=3,∴P1(3,

3
3
).
②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=

3
3
OB=1.
∴P2(1,

3
).
当∠OPB=90°时③过点P作OP⊥BC于点P(如图②),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M.
方法一:在Rt△PBO中,BP=
1
2
OB=

3
2
,OP=

3
BP=
3
2

∵在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
∴OM=
1
2
OP=
3
4
;PM=

3
OM=
3

3
4

∴(
3
4
3

3
4
).
方法二:设P(x,-

3
3
x+

3
),得OM=x,PM=-

3
3
x+

3
,由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.
∵tan∠POM=
PM
OM
=tan∠ABO=
OA
OB
=

3

∴-

3
3
x+

3
=

3
x,解得x=
3
4
.此时,(
3
4
3

3
4
).
④若△POB∽△OBA(如图③),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
∴PM=OM=

3
4

∴P4
3
4

3
4
)(由对称性也可得到点P4的坐标).
当∠OPB=90°时,点P在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是:P1(3,

3
3
),P2(1,

3
),P3
3
4
3

3
4
),P4
3
4

3
4
). …做出一种情况1分

据专家权威分析,试题“如图,平面直角坐标系中,直线AB解析式为:y=-33x+3.直线与x轴,y..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

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