题文

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为______； （2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （3）若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点B′的坐标； （4）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使DB′⊥OA，求此时点C的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图（1），∵OB=4，延CD折叠后使点B与点O重合， ∴OC=BC= 1 2 OB=2， ∴C的坐标是（0，2）， 如图（2）连接AC， ∵OB=4，延CD折叠后使点B与点A重合， ∴BC=AC， 设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC2+OA2=AC2， a2+22=（4-a）2， 解得：a= 3 2 ， 即C（0， 3 2 ）， 故答案为：（0，2），（0， 3 2 ）． （2）如图（3）连接B′C， ∵延CD折叠后使点B与点B′重合， ∴BC=B′C=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC2+OB′2=B′C2， y2+x2=（4-y）2， 即y=- 1 8 x2+2，y的取值范围是 3 2 ≤y≤2． （3）如图（4） ∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点B′， ∴OB=OB′=4， 即B′的坐标是（4，0）． （4）如图（5）连接B′C， 设OB′=x，OC=y， ∵延CD折叠B和B′重合， ∴BC=B′C，BD=B′D， ∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B， ∵B′D⊥OA，∠AOB=90°， ∴B′D∥OB， ∴∠CBB′=∠BB′D， ∴∠CBB′=∠B′BD， ∴B′C∥BD， ∴△OB′C∽△OAB， ∴ OB′ OA = OC OB ， ∴ x 2 = y 4 ， 即y=2x， ∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C， 在Rt△COB′中，由勾股定理得：x2+（2x）2=（4-2x）2， ∵x为边长， ∴x＞0， 解方程得：x=4 5 -8，2x=-16+8 5 ， ∴C的坐标是（0，-16+8 5 ）．

据专家权威分析，试题“已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)