题文

如图1，直线y=- 3 3 x+ 3 与两坐标轴交于A、B，以点M（1，0）为圆心，MO为半径作小⊙M，又以点M为圆心、MA为半径作大⊙M交坐标轴于C、D． （1）求证：直线AB是小⊙M的切线． （2）连接BM，若小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，问：经过多少秒后，两圆相切？ （3）如图2，作直线BE∥x轴交大⊙M于E，过点B作直线PQ，连接PE、PM，使∠EPB=120°，请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵直线y=- 3 3 x+ 3 与两坐标轴交于A、B，∴A（3，0），B（0， 3 ），MO=1， 过M作MF垂直AB于F， 则∠MFA=∠BOA=90°， ∵∠FAM=∠OAB， ∴△MFA∽△BOA， ∴ AM AB = MF OB ， ∵A（3，0），B（0， 3 ），M（1，0）， ∴OA=3，OB= 3 ，OM=1， ∴AM=3-1=2，由勾股定理得：AB=2 3 ， ∴ 2 2 3 = MF 3 ， MF=1=OM， ∵MF⊥AB， ∴直线AB是小⊙M的切线． （2）小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（2t+1，0）； 因为B（0， 3 ），M（1，0）， 所以直线BM的解析式为：y=- 3 x+ 3 ， 又因为大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（1+ 1 2 t，- 3 2 t）， ①当两圆外切时，两圆心距离为两圆半径的和即： 3 4 t2+ 9 4 t2 =OM+MA=OA=3， 解得t= 3 秒， ②当两圆内切时，两圆心距离为两圆半径的差即： 3 4 t2+ 9 4 t2 =1， 解得t= 3 3 秒， （3）如下图作辅助线：ME=2，OB= 3 ，在△BCM中，∠BMO=60°，同理∠EMA=60°， 则∠BME=60°， 又∵∠EPB=120°， ∴∠EPB+∠BME=180°， ∴PBME四点共圆， ∵BM=ME， ∴∠BPM=∠EPM=60°， 在PM上截取PN=PE，连接NE， ∵∠EPM=60°，PE=PN， ∴△PNE是等边三角形， ∴PE=EN，∠PEN=60°， ∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB， ∵∠PBE=∠NME（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， 在△PBE和△NME中 ∵ ∠EPB=∠MNE ∠PBE=∠EMN PE=EN ， ∴△PBE≌△NME（AAS）， ∴PB=NM， ∴PM=PN+NM=PE+PB． ∴PB、PE、PM三者之间的数量关系为：PM=PB+PE．

据专家权威分析，试题“如图1，直线y=-33x+3与两坐标轴交于A、B，以点M（1，0）为圆心，MO..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)