题文

如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为y=- 3 4 x+6，则 （1）AO=______；AD=______；OC=______； （2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵A、D是直线y=- 3 4 x+6上的点， ∴A（0，6），D（8，0）， ∴AO=6，OD=8； ∵△AOD是直角三角形， ∴AD= AO2+OD2 = 62+82 =10， ∵△ACE由△ACO反折而成， ∴AE=AO=6，CE⊥AD， ∴DE=QD-AE=10-6=4， ∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED， ∴△AOD∽△CED， ∴ AD CD = OD ED ， 10 CD = 8 4 ，解得CD=5， ∴OC=OD-CD=8-5=3． （2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时； ∵∠BAC=∠PAQ， ∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC； 又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC， ∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t； ∴△POQ的面积为：S= 1 2 OP?CQ?sin∠ECD= 1 2 （3-t）× 4 5 t，即S=- 2 5 t2+ 6 5 t； 当P在x轴正半轴上时，即t＞3时； 同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3； ∴S= 1 2 OP?CQ?sin∠ECD= 1 2 （t-3）× 4 5 t， 即S= 2 5 t2- 6 5 t； 综上可知：S= - 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3) ； （3）分两种情况： ①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况； 此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）； ∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线， ∴AD的中点也是PQ的中点； ∴Q（11-t，6）； ∵直线CE：y= 4 3 x-4，代入Q点坐标得： 4 3 （11-t）-4=6，解得t= 7 2 ；即BP=CQ= 7 2 ， ∴Q（ 3 2 × 3 5 +3， 3 2 × 4 5 ），即Q（ 51 10 ， 14 5 ）； ②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况； 此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（ 15 2 ，6）； 即DP=AF= 15 2 ，BP=BD+DP=11+ 15 2 = 37 2 ，即t= 37 2 ； 此时CQ=BP= 37 2 ，同①可求得：Q（ 141 10 ， 74 5 ）． 综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t= 3 2 ，Q（ 51 10 ， 14 5 ）或t= 37 2 ，Q（ 141 10 ， 74 5 ）． 故答案为：10，6，3．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)